题面

【题目描述】

求有多少个1到 n的排列满足恰有$ k$ 对在排列中相邻的数满足前小于后，答案对2012取模。

【输入】

一行2个正整数$ n , k$ 。

【输出】

输出一个整数表示答案。

【样例输入】

5 2

【样例输出】

66

【数据范围】

$k<n<=1000$

题解

计数类问题，应该是个 式子 或者 DP 。

考虑$k$和$n$都不大考虑DP。$f[i][j]$表示$n=i$，$k=j$时的答案。

那么考虑怎么转移，考虑将$i$插入长度为$i-1$的排列中，对答案的影响。有$f[i][j]=f[i-1][j]*(j+1)+f[i-1][j-1]*(i-j)$

$f[i-1][j]*(j+1)$表示将$i$插入后满足要求的数对没有变多，因为$i$大于$i-1$排列中的任意一个，所以将$i$插入$j$个以满足的数对中的任意一个都不会使得满足条件的数对变多，又或者直接将$i$放在第一个。

$f[i-1][j-1]*(i-j)$表示将$i$插入后数对变多了，也是因为$i$大于$i-1$排列中的任意一个，所以只要不插入到$j-1$个已经满足的数对中即可，那么就会有$(i-2)-(j-1))$，加上最后一个位置就是$i-j$了。

初值为$f[i][0]=1$，可以用打表和DP式子来判断。

    #include<iostream>
    #include<cstdio>
    #include<algorithm>
    #include<cstring>
    #define N 1005
    #define p 2012
    using namespace std;
    int n,k,f[N][N];
    int main(){
        scanf("%d%d",&n,&k);
        for(int i=1;i<=n;i++) f[i][0]=1;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<i;j++)
                f[i][j]=(f[i-1][j]*(j+1)%p+(f[i-1][j-1]*(i-j))%p)%p;
        printf("%d\n",f[n][k]);
        return 0;
    }

总结

计数类问题，一般都是 排列组合 和 DP 。尤其是在数据范围不太大，DP状态可以表示时，要考虑DP。

其实也不能算是DP，更准确的说应该是递推，考虑从$i$到$i+1$的答案变化。